6/14から6/16にかけて、小千谷市のメールサーバの不具合により、メールの受信ができなかったようです。これに関連してか、6/25の18:00-21:00の間と6/27の19:00-21:00の間、サーバメンテナンスが入る予定です。
サーバが落ちていたのは、(また)土曜日から月曜日にかけて。復旧時刻から考えても、月曜に登庁してきたときに初めて気付いた、という感じだと思われます。
6月14日(土曜日)午前9時ころ〜6月16日（月曜日）午後5時ころにかけて、メールサーバーの不具合により、電子メールの送受信ができませんでした。 みなさまにご迷惑をおかけいたしましたことをお詫び申し上げます。新潟県 小千谷市 ホームページ 新着情報（メール受信の不具合のお詫び）
上越市の時も、前の小千谷市の時もそうでしたが、土曜日から翌週月曜に掛けてダウンすること、多くないですか？
しかも、小千谷市は先月もダウンしていて、これで今年度2回目です。さすがに具合が悪いようで、サーバメンテナンスがはいることになったようです。
6月25日(水曜日)午後6時〜午後9時ころにかけて、また、6月27日(金曜日)午後7時〜午後10時ころにかけてサーバ機器のメンテナンスにより、市ホームページの閲覧とメール送受信が一時的にできなくなります。新潟県 小千谷市 ホームページ 新着情報（市ホームページとメール送受信一時停止のお知らせ）
ところで、「Xen」を使えば、機器メンテナンスでいちいちサーバを落とす事もなくなると思います。導入を検討してみてはいかがでしょうか。