結論からいうと、Fire TV（および Fire TV Stick）は接続できる5GHz帯のチャンネルが決まってます。
Wi-Fi接続時、接続先のリストには5GHz帯のSSIDが出てくるのにいざ接続しようとするとなぜか接続に失敗するので、「5GHz帯の電波弱いからかなぁ……（それにしても弱すぎだろ）」と思っていたのですが、商品ページの仕様のところにちゃんと書いてありました。
5GHz帯はW52の36, 40, 44, 48の4チャンネルにのみ対応
なんという仕様。
このため、Fire TV Stickを5GHz帯で接続したければ、Wi-Fiルータのほうでチャンネルを36、40、44、48の4つのチャンネルのうち、いずれかに設定する必要があります。ちょっとめんどくさい。（めんどくさいので2.4GHz帯でいいやってなってる。）
